Z-Score
Was ist ein Z-Wert?
Ein Z-Wert ist ein standardisiertes Maß dafür, wie weit ein bestimmter Datenwert vom Mittelwert eines normalverteilten Datensatzes entfernt ist.
Wie werden Z-Werte verwendet?
Durch die Bereitstellung einer einheitlichen Skala, um auszudrücken, wie extrem ein bestimmter Datenpunkt im Verhältnis zum Mittelwert ist, sind Z-Werte hilfreich, um Ausreißer zu identifizieren und Daten aus verschiedenen Verteilungen zu vergleichen. Ein Z-Wert ist auch eine schnelle Möglichkeit, die empirische Regel anzuwenden. Sie können beispielsweise schnell überprüfen, ob 95 % der Werte in einem Datensatz innerhalb von zwei Standardabweichungen liegen, indem Sie den Prozentsatz der Werte mit Z-Werten zwischen –2 und 2 überprüfen.
Wie berechne ich Z-Werte?
Sie berechnen den Z-Wert, indem Sie den Mittelwert von einem Datenwert subtrahieren und dann durch die Standardabweichung dividieren.
Verwendung eines Z-Werts
Erfahren Sie, wie Sie Z-Werte mithilfe einer Statistiksoftware berechnen
- Laden Sie JMP herunter, um die in der Software enthaltenen Beispieldaten zu verwenden.
- Weitere JMP-Tutorials finden Sie in der JMP-Lernbibliothek.
Mit einem Z-Wert können Sie anhand einer standardisierten Skala messen, wie weit jeder Ihrer Datenwerte vom Mittelwert entfernt ist. Z-Werte konvertieren Ihre Rohdaten in Daten aus einer z-Verteilung. Die z-Verteilung ist eine Normalverteilung mit einem Mittelwert von 0 und einer Standardabweichung von 1. Sie wird oft als Standardnormalverteilung bezeichnet.
Warum in Z-Werte konvertieren?
Die Konvertierung in einen Z-Wert erleichtert die Anwendung der empirischen Regel. Da beispielsweise die Standardabweichung der z-Verteilung 1 ist, wissen Sie, dass etwa 95 % der Werte zwischen −2 und +2 liegen.
Durch die Konvertierung in Z-Werte können wir die Entfernung vom Mittelwert auf einer standardisierten Skala beurteilen. Bevor Computer flächendeckend verfügbar waren, enthielten Statistiklehrbücher Tabellen mit standardisierten Normalverteilungen. So konnten die Studenten Abstände vom Mittelwert nachschlagen, die präziser waren als die ein, zwei und drei Standardabweichungen der empirischen Regel.
Umrechnung in Z-Werte
Um einen Datenwert zu konvertieren, subtrahieren Sie den Mittelwert vom Wert und dividieren ihn dann durch die Standardabweichung. Das Ergebnis wird als Z-Wert oder „standardisierter Wert“ bezeichnet. In der Theorie verwenden Sie den Mittelwert und die Standardabweichung der Grundgesamtheit. In der Praxis verwenden Sie in der Regel den Stichprobenmittelwert und die Standardabweichung.
Dies ist anhand eines Beispiels leichter zu verstehen.
Für ein einfaches Beispiel verwenden wir nur wenige Datenwerte. Nehmen wir an, Sie messen die Herzfrequenz. Die meisten Menschen haben eine Herzfrequenz zwischen 60 und 100 Schlägen pro Minute (BPM). Angenommen, Ihre Datenwerte sind:
| 55 |
| 60 |
| 65 |
| 75 |
| 80 |
| 85 |
Der Mittelwert dieser Werte beträgt 70 und die Standardabweichung 11,8. (Sie können auf den Seiten für Mittelwert und Standardabweichung sehen, wie Sie diese Berechnungen durchführen.)
Angenommen, Sie werden gefragt, ob der Wert 55 innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt. Sie können dies herausfinden, indem Sie mithilfe des Mittelwerts und der Standardabweichung den Wert berechnen, der zwei Standardabweichungen von 70 entfernt ist. Diese Berechnung erfolgt so:
70 – (2 x 11,8) = 70 – 23,6 = 46,4
Da 55 im Bereich von 46,4 bis 70 liegt, liegt 55 innerhalb von zwei Standardabweichungen vom Mittelwert.
Alternativ können Sie den Z-Wert berechnen. Denken Sie daran: Um den Z-Wert für eine Reihe von Werten zu berechnen, subtrahieren Sie einfach den Mittelwert von jedem Wert und dividieren ihn durch die Standardabweichung. Hier sind die Z-Werte für unsere Herzfrequenzmessungen:
| Daten | Z-Score |
| 55 | (55 – 70) / 11,8 = –1,27 |
| 60 | (60 – 70) / 11,8 = –0,85 |
| 65 | (65 – 70) / 11,8 = –0,42 |
| 75 | (75 – 70) / 11,8 = 0,42 |
| 80 | (80 – 70) / 11,8 = 0,85 |
| 85 | (85 – 70) / 11,8 = 1,27 |
Jetzt können wir sehen, dass der Wert 55 innerhalb von zwei Standardabweichungen liegt. Tatsächlich liegt er 1,27 Standardabweichungen unter dem Mittelwert.
Wir haben den Stichprobenmittelwert und die Stichprobenstandardabweichung verwendet, um unsere Z-Werte zu berechnen, was eine typische Praxis ist, obwohl die Statistiktheorie auf dem Mittelwert der Grundgesamtheit und der Standardabweichung der Grundgesamtheit basiert.