Korrelationskoeffizient

Wie wird der Korrelationskoeffizient berechnet?

Der Korrelationskoeffizient der Stichprobe kann durch die folgende Formel dargestellt werden:

$$r=\frac{\sum\left[\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)\right]}{\sqrt{\mathrm{\Sigma}\left(x_i-\overline{x}\right)^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}}$$

Gehen wir die Berechnung des Korrelationskoeffizienten mithilfe eines Beispieles aus einfachen Zahlen schrittweise durch, sodass Sie die Rechenoperationen problemlos verfolgen können.

Stellen wir uns vor, dass uns interessiert, ob wir in unserer Stadt an heißeren Tagen mehr Eiscremeverkäufe erwarten können. Eisdielen öffnen ab dem Frühling; vielleicht kaufen Menschen mehr Eiscreme an Tagen, an denen es draußen heiß ist. Andererseits kaufen Menschen vielleicht gleichbleibend viel Eiscreme, weil sie sie so gern essen.

Wir beginnen diese Frage zu beantworten, indem wir Daten über durchschnittliche Eiscremeverkäufe pro Tag sowie die tägliche Höchsttemperatur erfassen. Eiscremeverkäufe und Temperatur sind also die zwei Variablen, die wir zur Berechnung des Korrelationskoeffizienten verwenden. Manchmal werden solche Daten als bivariate Daten bezeichnet, weil jede Beobachtung (oder jeder Zeitpunkt, zu dem wir Verkäufe und Temperatur gemessen haben) zwei Informationen beinhaltet, die wir zur Beschreibung nutzen können. Anders ausgedrückt stellen wir die Frage, ob Eiscremeverkäufe und Temperatur sich gemeinsam verändern.

Wie zuvor ist es nützlich, sich die Daten zunächst in einem Streudiagramm anzusehen:

Wir können die Daten auch in einer Tabelle darstellen, sodass wir die Berechnung des Koeffizienten für jeden einzelnen Datenpunkt praktisch verfolgen können. Bei der Beschreibung von bivariaten Daten ist es typisch, eine Variable als X und die andere als Y zu bezeichnen (diese helfen uns auch bei der Orientierung auf einer visuellen Ebene, beispielsweise den Achsen eines Diagramms). Bezeichnen wir Eiscremeverkäufe als X und die Temperatur als Y.

Beachten Sie, dass jeder Datenpunkt paarweise vorliegt. Denken Sie daran, dass wir einzelne Zeitpunkte betrachten und dass jeder Zeitpunkt einen Wert für Verkäufe und Temperatur beinhaltet.

1. Finden Sie zu Beginn die Stichprobenmittelwerte

Nachdem wir uns nun in unseren Daten orientiert haben, können wir mit zwei wichtigen Berechnungsschritten aus der oben stehenden Formel beginnen: dem Stichprobenmittelwert und der Differenz zwischen den einzelnen Datenpunkten und diesem Mittelwert (diese Anleitungen legen auch den Grundstein zum Verständnis der Standardabweichung).

Die Stichprobenmittelwerte werden durch die Symbole x̅ und y̅ dargestellt, manchmal als „x quer“ und „y quer“ bezeichnet. Die Mittelwerte für Eiscremeverkäufe (x̅) und Temperatur (y̅) können einfach folgendermaßen berechnet werden:

$$\overline{x} =\ [3\ +\ 6\ +\ 9] ÷ 3 = 6$$

$$\overline{y} =\ [70\ +\ 75\ +\ 80] ÷ 3 = 75$$

2. Berechnen Sie die Distanz jedes Datenpunktes von seinem Mittelwert

Mit dem vorliegenden Mittelwert für unsere beiden Variablen ist der nächste Schritt, den Mittelwert der Eiscremeverkäufe (6) von den einzelnen Verkaufs-Datenpunkten (x_i in der Formel) sowie den Temperatur-Mittelwert (75) von den einzelnen Temperatur-Datenpunkten (y_i in der Formel) zu subtrahieren. Beachten Sie, dass diese Rechenoperation manchmal eine negative Zahl oder Null ergibt!

3. Vervollständigen Sie den oberen Teil der Koeffizientengleichung

Dieser Teil der Gleichung heißt die Summe der Produkte. Ein Produkt ist die Zahl, die man nach dem Multiplizieren erhält, also ist diese Formel genau das, was ihr Name besagt: die Summe der multiplizierten Zahlen.

$$\sum[(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})]$$

Aus der oben stehenden Tabelle nehmen wir aus jeder Zeile die paarweisen Werte der letzten zwei Spalten, multiplizieren sie miteinander (denken Sie daran, dass die Multiplikation von zwei negativen Zahlen eine positive Zahl ergibt!) und bilden die Summe aus diesen Ergebnissen:

$$[(-3)(-5)] + [(0)(0)] + [(3)(5)] = 30$$

4. Vervollständigen Sie den unteren Teil der Koeffizientengleichung

Der Nenner unserer Korrelationskoeffizientengleichung sieht folgendermaßen aus:

$$\sqrt{\mathrm{\Sigma}{(x_i\ -\ \overline{x})}^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}$$

Nehmen wir uns die Ausdrücke in dieser Gleichung getrennt nacheinander vor und verwenden die Zahlen aus unserem Beispiel der Eiscremeverkäufe:

$$\mathrm{\Sigma}{(x_i\ -\ \overline{x})}^2=-3^2+0^2+3^2=9+0+9=18$$

$$\mathrm{\Sigma}{(y_i\ -\ \overline{y})}^2=-5^2+0^2+5^2=25+0+25=50$$

Wenn wir die Ergebnisse der beiden Ausdrücke miteinander multiplizieren, erhalten wir:

$$18\times50\ =\ 900$$

Das bringt den unteren Teil der Gleichung auf:

$$\sqrt{900}=30$$

5. Vervollständigen Sie die Rechnung und vergleichen Sie das Ergebnis mit dem Streudiagramm

Hier ist unsere vollständige Korrelationskoeffizientengleichung noch einmal:

$$r=\frac{\sum\left[\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)\right]}{\sqrt{\mathrm{\Sigma}\left(x_i-\overline{x}\right)^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}}$$

Tragen wir die Zahlen aus dem Zähler und Nenner ein, die wir oben berechnet haben:

$$r=\frac{30}{30}=1$$

Eine perfekte Korrelation zwischen Eiscremeverkäufen und heißen Sommertagen! Natürlich ist es in der Praxis so unwahrscheinlich, eine perfekte Korrelation zu finden, dass wir, wenn wir mit echten Daten gearbeitet hätten, annehmen würden, wir hätten einen Fehler gemacht, wenn wir solch ein Ergebnis erhalten hätten.

Aber dieses Ergebnis aus den vereinfachten Daten in unserem Beispiel sollte schon vom bloßen Anblick der Datenpunkte intuitiv einen Sinn ergeben. Sehen wir uns unser Streudiagramm erneut an:

Stellen Sie sich jetzt vor, dass Sie eine Linie durch dieses Streudiagramm zeichnen. Würde sie wie eine perfekte lineare Anpassung aussehen?

Ein Bild sagt mehr als 1.000 Korrelationskoeffizienten!

Streudiagramme und andere Datenvisualisierungen sind nützliche Werkzeuge im gesamten statistischen Prozess, nicht nur bevor wir unsere Hypothesentests durchführen.

Wir sollten stets im Hinterkopf behalten, dass es irreführend sein kann, sich ausschließlich auf den Korrelationskoeffizienten zu verlassen – besonders in Situationen, in denen kurvenförmige Beziehungen oder extreme Ausreißer vorhanden sind. Die unten stehenden Streudiagramme erinnern uns daran, dass ein Korrelationskoeffizient von Null oder nahe Null nicht unbedingt bedeutet, dass keine Beziehung zwischen den Variablen besteht; er bedeutet lediglich, dass keine lineare Beziehung besteht.

Gleichermaßen kann ein Streudiagramm veranschaulichen, wie Ausreißer – ungewöhnliche Beobachtungen in unseren Daten – den Korrelationskoeffizienten verzerren können. Sehen wir uns ein Beispiel mit einem extremen Ausreißer an. Der Korrelationskoeffizient deutet darauf hin, dass eine relativ starke positive Beziehung zwischen X und Y besteht. Aber wenn der Ausreißer entfernt wird, ist der Korrelationskoeffizient nahe Null.