相関係数

相関係数の実際の計算方法

標本相関係数は、次の計算式で表すことができます。

$$r=\frac{\sum\left[\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)\right]}{\sqrt{\mathrm{\Sigma}\left(x_i-\overline{x}\right)^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}}$$

演算を簡単に理解できるように、少数の単純な数値の例を使用して相関係数を計算する方法を見ていきましょう。

暑い日に街でより多くのアイスクリームの販売が見込めるかどうかに興味があるとしましょう。春になってアイスクリーム店がオープンしたとします。外が暑い日にアイスクリームを買う人もいるでしょう。その一方で、アイスクリームがとても好きなので、定期的に購入する人もいるでしょう。

私たちは、この疑問に回答するために、平均的な1日のアイスクリームの売上と毎日の最高気温に関するデータを収集します。したがって、アイスクリームの売上と気温は、相関係数の計算に使用する 2つの変数 です。このようなデータは、二変量データ と呼ばれることがあります。これは、各オブザベーション（売上と気温の両方を測定した時点）に、それを説明するために使用できる情報が2つあるためです。つまり、アイスクリームの売上と気温が一緒に変動しているかどうかを確認しています。

以前の例と同様、まず初めに散布図を使用してデータを確認するのが有用です。

これらのデータは、表で確認することもできます。これは、各データ点が係数の計算にどのように用いられたかを辿るのに役立ちます。二変量データについて言えば、一方の変数を X、もう一方の変数を Y を呼ぶのが一般的です（これらは、プロットの軸のように、グラフ平面上で位置を確認するのにも役立ちます）。アイスクリームの売上を X、気温を Y としましょう。

各データ点は ペア であることに注意してください。実際には個々の時点を調べており、各時点に売上と気温の両方の値があることを忘れないでください。

1. 標本平均を求めます

データの方向性が定まったので、上記の式から2つの重要な部分計算を始めることができます。1つは 標本平均、もう1つは各データ点とこの平均の差です（これらのステップでは、標準偏差 の最初の構築ブロックもわかります）。

標本平均は、$\overline{x}$と$\overline{y}$の記号で表されます。これは「xバー」と「yバー」と呼ばれることもあります。アイスクリームの売上の平均 （$\overline{x}$）と温度の平均（$\overline{y}$）は、次のように簡単に計算できます。

$$\overline{x} =\ [3\ +\ 6\ +\ 9] ÷ 3 = 6$$

$$\overline{y} =\ [70\ +\ 75\ +\ 80] ÷ 3 = 75$$

2. 平均から各データ点の距離を計算します

次に、2つの変数のそれぞれの平均を使用して、アイスクリームの売上の各点（計算式の x_i）からの売上の平均（6）を差し引き、各気温データの各点（計算式の y_i ）から気温の平均（75）を差し引きます。この演算の結果は、負の数またはゼロになる場合があります。

3. 係数の計算式の上部を完成させます

計算式の以下の部分は、積和と呼ばれます。積とは乗算後に得られる数値です。したがって、この式は乗算した数値の合計になります。

$$\sum[(x_i-\overline{x})(y_i-\overline{y})]$$

上記の表の最後の2列の各行からペアの値を取得し、それらを乗算して（2つの負の数を乗算すると正になることに注意してください）、結果を次のように合計します。

$$[(-3)(-5)] + [(0)(0)] + [(3)(5)] = 30$$

4. 係数の計算式の下部を完成させます

相関係数の計算式の分母は次のようになります。

$$\sqrt{\mathrm{\Sigma}{(x_i\ -\ \overline{x})}^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}$$

この計算式の個々の式を確認し、アイスクリームの売上の例から数値を落とし込んでみましょう。

$$\mathrm{\Sigma}{(x_i\ -\ \overline{x})}^2=-3^2+0^2+3^2=9+0+9=18$$

$$\mathrm{\Sigma}{(y_i\ -\ \overline{y})}^2=-5^2+0^2+5^2=25+0+25=50$$

2つの式の結果を乗算すると、次のようになります。

$$18\times50\ =\ 900$$

これにより、計算式の下部は次のようになります。

$$\sqrt{900}=30$$

5. 計算を終了し、結果を散布図と比較します

ここでもう一度、完全な相関係数の計算式を示します。

$$r=\frac{\sum\left[\left(x_i-\overline{x}\right)\left(y_i-\overline{y}\right)\right]}{\sqrt{\mathrm{\Sigma}\left(x_i-\overline{x}\right)^2\ \ast\ \mathrm{\Sigma}(y_i\ -\overline{y})^2}}$$

これまでに計算した分子と分母の数を当てはめてみましょう。

$$r=\frac{30}{30}=1$$

アイスクリームの売上と暑い夏の日の間には完全な相関関係があります。もちろん、完全な相関関係を見つけることは、現実世界ではまずありません。もし実際のデータを使用してこのような結果が得られた場合、何かが間違っていると言えるでしょう。

しかし、この例のように単純化されたデータから来た結果の場合、データ点を見るだけでも直感的に理解できるはずです。散布図をもう一度見てみましょう。

次に、その散布図に線を引くことを想像してください。完璧に直線をあてはめられるでしょうか。

1つの図が1,000個の相関係数に匹敵する場合も

散布図やその他のデータの視覚化は、仮説検定を実行する前だけでなく、統計プロセス全体を通して有用なツールです。

実際、相関係数のみに依存すると誤解が生じ得ることを覚えておくことが重要です。特に、曲線関係や極端な外れ値が関係する状況であてはまります。以下の散布図では、相関係数がゼロまたはゼロに近いからといって、必ずしも変数間に関係がないことを意味するわけではありません。単に 線形 関係がないことを意味します。

同様に、散布図を見ると、外れ値（データの異常な観測値）が相関係数に影響を与えている可能性があるかについての洞察が得られます。1つの極端な外れ値を持つ例を見てみましょう。相関係数は、XとYの間に比較的強い正の関係があることを示しています。しかし、外れ値が削除されると、相関係数はほぼゼロになります。