平均値、中央値、最頻値

平均値はデータセットの中心を説明します

図1のように、一連のデータ値があり、それらをプロットするとします。横軸はデータ値を示します。縦軸は、特定のデータ値を持つ点がいくつあるかを示します。統計用語では、これをヒストグラムまたはデータ値の分布と言います。平均値がデータの中心を推定します。

母平均とは？

母平均は理論上の母集団の中心であり、多くの場合、未知です。

母集団が分かっている例について考えてみましょう。1950年以降の大西洋ハリケーンの上陸時の風速の平均を知りたいとします。これは比較的小さな母集団であり、1950年以降に上陸したすべての大西洋ハリケーンのデータが利用可能です。この場合、母平均を簡単に計算できます。

しかし、多くの場合、母集団全体のデータを取得できないため、真の母平均を知ることはできません。

母平均は、数式ではギリシャ文字の「小文字のm」または「ミュー」で表されます。記号はμです。

標本平均とは？

未知の母平均を推定するには、データの標本を収集し、その標本の平均値を計算します。

標本平均は、標本のデータの中心を測定します。これが母平均の推定値です。

標本平均の統計記号はxと線、またはxの上に線が書かれたものです。「エックスバー」と呼ばれx̅  と表されます。

標本平均、算術平均、標本平均の違いとは？

3つとも標本平均を示す用語で、意味は同じです。

母平均は未知な場合が多いため、「標本平均」に「平均」という用語が使用される場合があります。記事に「平均所得」や「平均気温」と出てきた場合は、通常、標本データの平均を意味しています。

50%が「平均を上回る」というのは真実ではありません

多くの人は、データ値の50%は標本平均を上回り、50%は下回ると間違った思い込みをしていますが、多くの場合、これは真実ではありません。この間違いは、平均値と中央値を混同したものです。平均値と中央値が一致するのは、一部の状況でのみです。

平均値の計算方法

平均値を計算するには、標本のデータ値のすべての数値を合計し、データ値の数で割ります。簡単な例で、この計算を調べてみましょう。

データ値が 4、5、6 であるとします。平均値を計算するには:

$\frac{(4+5+6)}{3} = \frac{15}{3} = 5$

通常、平均の計算にはソフトウェアを使用します。平均値の計算式は次のとおりです。

$\overline{x}=\frac{Σx_i}{n}$

上記の計算式では、標本にはn個のデータ値があります。各データ値はx_iで表されます。総和記号$Σ$は、例で行ったように、データ値を合計することを意味します。

母平均が未知な場合、母集団のサイズは大文字のNで表されることがよくあります。母平均を計算できるような状況では、計算式は同じですがnの代わりにNを使用します。

中央値

中央値は標本データの50パーセント点です。データ値の50%が中央値を上回り、50%が中央値を下回るというのは常に真実です。平均値と同様に、真の未知の母集団中央値と標本中央値が存在します。真の母集団中央値が分かっていることはほとんどありません。

平均値と中央値はどちらもデータの中心を推定するもので、どちらもしばしば報告されます。以下で説明するように、中央値は極端なデータ値や非対称のデータによる影響をあまり受けません。

中央値の計算方法

中央値を計算するには、最初に標本データの値を昇順（値が低い順）に並べてから、中間値を見つけます。

簡単な例をいくつか使うと、これが理解しやすくなります。

ここでもデータ値が4、5、6であるとします。

まず、値を昇順に並べます：4 – 5 – 6。

この例の中間値は5です。これが中央値です。データの半分は中央値を上回り、半分は中央値を下回ります。

2つ目の例として、標本に偶数のデータ値、たとえば 7、4、5、6 があるとします。中間値はひとつではありません。

まず、データ値を昇順に並べます：4 – 5 – 6 – 7。

次に2つの中間値を見つけます：5と6。

その次に、この2つの値を足して2で割り、この2つの値の平均を取ります。その結果が中央値です。例：

$\frac{5+6}{2} = \frac{11}{2} = 5.5$

この両方の例で、中央値は中間値です。標本データの半分は中央値を上回り、半分は中央値を下回ります。

2つ目の例では、4、5、5.5、6、7という値があり、中央値5.5は並べた標本データの中間にあります。

通常、中央値の計算にはソフトウェアを使用します。

最頻値

最頻値は、データの中心を推定するために使用されるもう一つの統計量です。最頻値とは最も頻繁に出現する値です。

たとえば、データ値が3、4、4、4、5、6 である場合、

最も頻繁に出現している4が最頻値です。

ほとんどの統計ソフトウェアは最頻値を計算します。ただし、実際には、最頻値は平均値や中央値ほど頻繁に使用されません。そのため、このページの残りの部分では、平均値と中央値の2つに焦点を当てます。

極端なデータ値が標本平均と標本中央値に与える影響

標本平均は極端なデータ値の影響を受けやすい場合があります。上の例を少し変更し、標本データの値が4、5、12になったとします。

標本平均は次のとおりです。

$\frac{4+5+12}{3} = \frac{21}{3} = 7$

標本中央値は、度数順のデータ値4、5、12の中間値、5です。

これを前の例と比較します。4、5、6のデータ値の平均値と中央値は5でした。1つのデータ値を6から12に変更すると、中央値は変わりませんでしたが、平均値は5から7に変わりました。

より大きなデータセットでは、1つの極端なデータ値が標本平均値に与える影響は大きくても、標本中央値に与える影響は小さくなります。中央値は外れ値や極端なデータ値に対して頑健（ロバスト）であると言えます。

以下の分布は、外れ値を除外したデータセット（図2）と、外れ値を含めたデータセット（図3）を示しています。

どちらのデータセットも中央値は44.6です。外れ値のないデータの平均は45.3で、外れ値のあるデータの平均は45.6です。両方のヒストグラムの軸のスケールは30〜90です。

データの対称性が標本平均と標本中央値に与える影響

データが対称でない場合、標本平均値と標本中央値は異なります。データが非対称である場合、それは歪んだ分布を持つと言われます。

対称分布、左に歪んだ分布、右に歪んだ分布の3つの分布について見てみましょう。

図4のヒストグラムは、ほぼ対称なデータを示しています。プロットを中央で半分に折りたたむことを考えると、両側はほぼ重なります。平均値と中央値は非常によく似ています。

図5のヒストグラムは、非対称なデータを示しています。このデータは、より低い値に大きく重み付けされ、左側に歪んでいます。歪度統計量は負で、平均値は中央値より小さくなっています。

図6のヒストグラムにも、非対称のデータが示されています。このデータは、より高い値に重み付けされ、右側に歪んでいます。歪度統計量は正で、平均値は中央値より大きくなっています。

平均値と中央値の使用用途

図7～9 は、平均値と中央値の使用が適切なデータの種類を示しています。

連続データ：平均値と中央値が適切

平均値と中央値は、連続データに適しています。これらのデータは、多くの可能な値を持つスケールで測定されます。連続データの例は次のとおりです。

• 年齢
• 血圧
• 体重
• 温度
• 速度

これらすべての例で、平均値と中央値を計算することに意味があります。

順序データまたは名義データ：平均値と中央値は適用不可

平均値と中央値は、順序データまたは名義データには適用できません。これらのタイプのデータは限られた数の値をもつスケールで測定されるためです。

順序データでは、標本はグループに分けられ、応答には定義された順序があります。たとえば、「まったくそう思わない」から「非常にそう思う」までのスケールで意見を求められる調査では、回答は順序データです（図8）。

名義データの場合、標本もグループに分けられますが、特定の順序はありません。たとえば、生物学的性別と居住国は名義データです。名義データが数値でコード化されている場合は、平均値を計算できる場合もあります。平均値の解釈はコーディングによって異なります。たとえば、男性に0、女性に1を使用して性別をコーディングし、標本平均が計算された場合、0.6という値が得られる可能性があります。この値は標本に含まれる女性の割合を表し、意味があります。居住国については、国名を数値でコード化する場合、平均を計算できますが、その平均値は意味のある解釈にはなりません。