勾配

［被験者ごとの勾配を保存］オプションで保存される勾配は、Newton-Raphson法のステップを被験者ごとに平均したものです。対数尤度の最大化が行われた段階での勾配の合計は0ベクトルになっています。また、この勾配の合計にヘッセ行列の逆行列を掛けたもの（Newton-Raphson法のステップ幅）も0ベクトルです。Δ = H-1g = 0。ここで、gは最尤法の対数尤度から計算された勾配の合計、H-1はヘッセ行列の逆行列です。ヘッセ行列とは、対数尤度の二階偏導関数（対数尤度を2回編微分したもの）を要素とする行列のことです。

ここで、Δを分解すると次のように表わされます。

Δ = ΣijΔij = ΣH-1gij = 0

上式において、iは被験者を示す番号、jは各被験者における選択を示す番号、ΔijはNewton-Raphson法におけるステップ、gijは各選択における対数尤度の勾配を示します。

そこで、各被験者の平均ステップは、次のように計算できます。

,

この式で、niはi番目の被験者が行った選択の回数を示します。Δiは、被験者iがパラメータに与える影響力に関係しています。あるセグメントに属する被験者の選好構造が、他の被験者と異なる場合には、そのセグメントの被験者がパラメータに与える影響力は強くなります。よって、この平均ステップをクラスター分析に利用できると考えられます。Δiはそのような影響力を示します。この値は、データテーブルに保存することができますので、保存したあとに「クラスター分析」プラットフォームなどで分析できます。

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