容差区间
本节包含单侧和双侧容差区间的统计详细信息。
基于正态分布的区间
单侧区间
单侧区间计算如下：
下限 =
上限 =
其中
s 是标准差
t 是非中心 t 分布的分位数
Φ-1 是标准正态分位数
双侧区间
双侧区间计算如下：
其中，s 是标准差并且 g(1-α/2; p,n) 是常数。
要确定 g，请考虑容差区间覆盖的总体中所占比例。Tamhane and Dunlop (2000) 按如下方式给出该比例：
其中，Φ 表示标准正态 cdf（累积分布函数）。
因此，g 可对以下方程求解：
其中，1 - γ 是容差区间中包含的全部将来观测的比例。
有关基于正态分布的容差区间的详细信息，请参见 Meeker et al.(2017) 中的表 J.1a、J.1b、J.6a 和 J.6b。
非参数区间
单侧下限
100(1 - α)% 单侧容差下限（包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布）是次序统计量 x(l)。指数 l 计算如下：
其中，Φ-1bin(1-α, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 分位数。
实际置信水平计算为 Φbin(n-l, n, β)，其中 Φbin(x, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。
请注意，要计算单侧分布自由的容差区间的下限，样本大小 n 必须至少与 
一样大。
单侧上限
100(1 - α)% 单侧容差上限（包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布）是次序统计量 x(u)。指数 u 的计算方式如下：
其中，Φ-1bin(1-α, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 分位数。
实际置信水平计算为 Φbin(u-1, n, β)，其中 Φbin(x, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。
请注意，要计算单侧分布自由的容差区间的上限，样本大小 n 必须至少与 
一样大。
双侧区间
100(1 - α)% 双侧容差区间（包含至少比例为 β 的来自样本大小 n 的抽样分布）计算如下：
其中，x(i) 是第 i 个次序统计量，l 和 u 计算如下：
让 ν = n - Φ-1bin(1-α, n, β)，其中 Φ-1bin(1-α, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布的第 (1 - α) 个分位数。若 ν 小于 2，则无法计算双侧分布自由的容差区间。若 ν 大于等于 2，则 l = floor(ν/2) 且 u = floor(n + 1 - ν/2)。
实际置信水平计算为 Φbin(u-l-1, n, β)，其中 Φbin(x, n, β) 是试验次数为 n 且成功概率为 β 的二项分布随机变量小于等于 x 的概率。
请注意，要计算双侧分布自由的容差区间，样本大小 n 必须至少与以下等式中的 n 一样大。
有关分布自由的容差区间的详细信息，请参见 Meeker et al.(2017, sec.5.3)。