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拟合线性模型 • 标准最小二乘法报表和选项 • “标准最小二乘法”特质的统计详细信息 • 杠杆图详细信息
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杠杆图详细信息
效应杠杆图亦称偏回归残差杠杆图 (Belsley et al. 1980) 或增加变量图 (Cook and Weisberg 1982)。Sall (1990) 推广了这些图，可应用于任何线性假设。
JMP 提供两类杠杆图：
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效应杠杆图显示相对于以下假设的观测：关注的效应不在模型中，而其他所有效应都包含在模型中。
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整体模型杠杆图（在“预测值-实际值”图报表中提供）显示相对于没有因子效应的假设下的观测。
在效应杠杆图中，只有一个效应假定为 0。但在整体模型“预测值-实际值”图中，所有效应都假定为 0。Sall (1990) 发表的论文将杠杆图理念推广到了任意线性假设，整体模型杠杆图就是其中的一个例子。该论文中的详细信息（在本节中进行了总结）具体表示为 JMP 中的上述两类图。
构造
假定关注的可估计假设为
杠杆图通过以下方式刻画了该检验的特征：标绘各个点，让每个点与斜率回归线的距离显示无约束残差。与位于 0 处的水平线的距离显示拟合受到假设约束时的残差。这两组残差的平方和之间的差值是因假设导致的平方和。该值成为 F 检验的主成分。
受假设约束的参数估计值可写为
在此，b 是最小二乘估计值
lambda 是假设约束的 Lagrangian 乘数，通过以下公式计算得出
无约束和受假设约束的残差分别为
对于每个观测，考虑水平轴值为 vx 且垂直轴值为 vy 的点，其中：
•
vx 是受约束残差减去无约束残差 r0 - r，反映出应用约束后留下的信息
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vy 是水平轴值加上无约束残差
因此，这些点具有以下 x 坐标和 y 坐标
且
这些点构成杠杆图的基础。图 3.68对此构造进行了演示，其中，响应均值为 0，实线的斜率为 1。
JMP 中的杠杆图在响应均值 处有一条水平虚线。标绘的点的坐标为：(vx +, vy)。
图 3.68 杠杆图的构造
在杠杆图上叠加检验
在简单线性回归中，您可以将响应期望值的置信限绘制为预测变量 x 的平滑函数
上限 (x) =
下限 (x) =
其中，x = [1 x] 是双向量的预测变量。
这些置信曲线给出了相应假设检验的显著性的直观估计，如图 3.57所示：
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显著：若斜率参数与 0 存在显著差异，置信曲线将在响应均值处跨越水平线。
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边界线 ：若斜率参数的 t 检验恰好落在显著性边缘上，则置信曲线在响应均值处渐近水平线。
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不显著：若斜率参数与 0 没有显著差异，置信曲线不会在响应均值处跨越水平线。
杠杆图通过显示置信曲线来体现这种思路。对这些曲线进行了调整以使图适当中心化。用 z 来表示水平轴上的点。定义函数
上限(z) =
且
下限(z) =
其中，F 是假设的 F 统计量， 是显著性水平 α 的参考值。
并且 ，其中 是由预测变量的合适中间值（如其均值）构成的行向量。
这些函数的行为方式与简单线性回归的置信曲线相同：
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若 F 统计量大于参考值，则置信函数与水平轴交叉。
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若 F 统计量等于参考值，则置信函数以水平轴为渐近线。
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若 F 统计量小于参考值，则置信函数不交叉。
此外，重要的是上限(z) - 下限(z) 对于 z 处的预测值而言为有效的置信区间。