箱线图

箱线图显示数据的分布

“箱线图”这个术语指的是离群值箱线图；这种图也称为盒须图或 Tukey 箱线图。请参考下面的“比较离群值与分位数箱线图”部分来了解另一种类型的箱线图

以下是箱线图的基本组成部分：

• 方块中的中心线显示数据的中位数。一半的数据高于此值，一半的数据低于此值。如果数据是对称的，中位数将位于方块的中心。如果数据是偏态的，中位数将更接近方块的顶部或底部。
• 方块的底部和顶部显示第 25 分位数和第 75 分位数，即百分位数。这两个分位数也称为四分位数，因为每一处会“切割”掉四分之一 (25%) 的数据。方块的长度是这两个百分位数之间的差异，被称为四分位数间距 (IQR)。
• 从方块中延伸出来的线条称为须线。须线代表数据的期望变异。须线从方块的顶部和底部延伸1.5倍的 IQR。如果数据没有延伸到须线的末尾，那么须线会延伸到最小数据值和最大数据值。如果有值落在须线末尾的上方或下方，它们将被绘制为点。这些点常常称为离群值。离群值比期望的变异更极端。有必要复查这些数据点，以确定它们是离群值还是错误值；须线不包括这些离群值。

图 1 显示了箱线图：

在图 1 的图形中，中位数接近方块的中间，这说明数据值大致是对称的。请查看下面的图 4，其中的数据就不是这种情况。

比较离群值和分位数箱线图

离群值和分位数箱线图都显示中位数、第 25 百分位数和第 75 百分位数。第 25 百分位数也是第 25 分位数，这意味着 25% 的数据低于第 25 分位数。分位数箱线图是将第 2.5、第 10、第 90 和第 97.5 分位数添加到离群值箱线图中。图 2 显示了相同数据的分位数箱线图和离群值箱线图。

比较箱线图和直方图

箱线图和直方图都显示数据的形状。二者都可用于识别异常的点，即离群值。图 3 显示了相同数据集的离群值箱线图和直方图。在这个示例中，直方图是垂直的，而不是水平的。

您会发现，对数据同时使用这两种类型的图形很有帮助。箱线图可帮助您查看偏态，因为如果数据是偏态的，代表中位数的那条线将不会接近方块的中心。箱线图比直方图能更好地识别第 25 和第 75 百分位数，而直方图比箱线图能更好地查看数据的总体形状。

如何创建箱线图？

过去，箱线图是手动创建的。如今，大多数人都使用软件来创建箱线图，从而避免了手动计算并减少了错误。箱线图基于所谓的 5 数汇总，它们是数据集中的最小值、第 25 百分位数、中位数、第 75 百分位数和最大值。有了这 5 个数字，您就可以创建箱线图了，这意味着，对于任何给定的数据集，您都可以分 5 个步骤来生成箱线图：

1. 计算中位数、第 25 百分位数和第 75 百分位数。
2. 计算四分位间距 (IQR)，即第 75 百分位数与第 25 百分位数之间的差异。
3. 将 IQR 乘以 1.5 计算须线的最大长度。
4. 识别离群值。
5. 使用计算的统计量来绘制结果并绘制箱线图。

箱线图示例

下面箱线图中的谷物数据显示了 76 种谷物类型中每份谷物的卡路里测量结果。“卡路里”这个变量是连续型的，因此箱线图是有意义的。

该数据是偏态的，因为中位数 102 明显更接近第 25 百分位数 101，而不是接近第 75 百分位数 200。

向箱线图中添加均值

可以借助软件来增强箱线图的功能。JMP 可以添加均值菱形，如图 5 中所示。菱形的顶部和底部是均值的 95% 置信区间。菱形的中间是样本平均值，它是总体均值的估计值。

对于谷物数据，均值高于中位数。均值与中位数之间的差异告诉您，这些数据是偏态的，不太可能来自于正态分布。

您还可以使用 JMP 向图形中添加功能。图 6 中的箱线图显示，均值菱形的中间添加了一条深绿色的线条，这有助于显示均值与中位数之间的差异。

JMP 还提供了注解工具，如图 7 中所示：

该图形汇总了关于卡路里的基本统计量并显示了数据的分布，它突出显示了数据是偏态的，并且数据不来自于正态分布。

箱线图 - 突出显示离群值

箱线图可帮助您识别感兴趣的数据点，即离群值。这些值被绘制为数据点，并且落在须线外部。图 8 显示了有 3 个离群值的箱线图，以须线之上的红点表示。这 3 个点超过了 1.5 倍 IQR。超过 1.5 倍 IQR 的点就超过了期望的数据变异范围。

离群值会影响均值、中位数以及其他百分位数。因为极值的点在箱线图中是突出显示的，所以您很容易识别这些数据，以便进行调查。您可能会发现，离群值是数据中的错误，或者，您也可能会发现，出于某些其他原因，离群值是异常的。例如，如果图 8 中的 3 个离群值在期望的值范围之外，您将需要确定它们是否为有效的数据。

有多组数据的箱线图示例

如果数据有多个组，您可以创建并排箱线图来进一步了解数据，这种箱线图可以提供简单易用且功能强大的工具来比较各组数据。

测量体脂百分比是衡量一个人健康状况的一种方法。大多数指导原则都认为男性与女性的体脂之间存在差异。（如需了解关于此数据的更多信息，请参考双样本 t 检验页面。）“体脂”这个变量是连续型的数据，因此箱线图可以很好地显示数据的分布。图 9 显示了分别代表男性和女性的并排箱线图。

从这个图形中，您可以看到，男性的体脂中位数低于女性。您还可以看到，男性与女性的数据范围有重叠。男性的数据比女性的数据偏度更大。两组都没有离群值。您可以使用 JMP 向这些箱线图中添加均值菱形、代表每个均值的线条以及注解。

对多个组分别使用并排箱线图有助于显示组差异和识别离群值。

箱线图和数据类型

连续型数据：适合使用箱线图

箱线图对连续型数据很适用，因为它们是在具有许多可能值的尺度上进行衡量的。以下是连续型数据的一些示例：

• 年龄
• 血压
• 体重
• 温度
• 速度

对于所有这些示例，箱线图都是用于探索数据分布最适合的图形工具。

分类型或名义型数据：使用条形图

箱线图对分类型或名义型数据没有意义，因为它们是在具有特定值的尺度上进行衡量的。请改用条形图。

对于分类型数据，样本常常分成多个组，并且响应可能有已定义的顺序。例如，在一项调查中，要求您从“强烈不同意”到“强烈同意”这样的评价区间来提供意见，您的响应就是分类型数据。

对于名义型数据，样本也分成多个组，但没有任何特定的顺序。例如，居住的国家/地区就是名义型变量。您可以使用国家/地区缩写，也可以使用数字对国家/地区名称编码。无论采用哪一种方式，您都只是在为不同的数据组命名而已。