t 分布

t 分布与正态分布

t 分布与正态分布相似。它有精准的数学定义。这里我们不深入探讨复杂的数学，而是看看 t 分布的有用属性，以及为什么它在分析中很重要。

• 和正态分布一样，t 分布有平滑的形状。
• 和正态分布一样，t 分布是对称的。如果在均值处将其对折，两侧是相同的。
• 和标准正态分布（或 z 分布）一样，t 分布的均值是 0。
• 正态分布假设总体标准差是已知的。t 分布不做这种假设。
• t 分布是通过自由度定义的。这些与样本量大小相关。
• t 分布在样本量较小或总体标准差未知，以及两者同时满足时最有用。
• 随着样本量大小增加，t 分布会变得与正态分布更加相似。

请参考下面这个图形，它将 3 种 t 分布与标准正态分布进行比较：

所有分布都有平滑的形状。所有分布都是对称的。所有分布的均值都是 0。

t 分布的形状取决于自由度。具有较高自由度的曲线较高，并且尾部较细。与 z 分布相比，3 种 t 分布都有“更重的尾部”。

可以看到，具有较高自由度的曲线是如何更接近 z 分布的。将具有 1 个自由度的粉色曲线与代表 z 分布的绿色曲线进行比较。与 z 分布相比，具有 1 个自由度的 t 分布较短，并且尾部较粗。然后将具有 10 个自由度的蓝色曲线与代表 z 分布的绿色曲线进行比较。这两种分布非常相似。

一个常用的经验方法是，在样本大小至少等于 30 的情况下，可以使用 z 分布来代替 t 分布。下图图 2 显示了具有 30 个自由度的 t 分布和 z 分布。该图使用绿色虚线来代表 z，因此您可以同时看到两条曲线。正是因为存在这种相似性，所以当样本量大小足够大时，在统计方法中将使用 z 分布来代替 t 分布。

关于假设检验和 t 分布的最后部分

当您开展 t 检验时，您想要确认的是，与来自 t 分布的期望值相比，检验统计量是否具有更极端的值。

对于双尾检验，您要观察分布的两个尾部。下图图 3 显示了双尾检验的决策过程。该曲线是具有 21 个自由度的 t 分布。来自 α = 0.05/2 = 0.025 的 t 分布的值是 2.080。对于双尾检验，如果检验统计量大于参考值的绝对值，将拒绝原假设。如果检验统计量的值落在尾部的下方或上方，将拒绝原假设。如果检验统计量在两条参考线之内，将无法拒绝原假设。

对于单尾检验，您只需观察分布的一个尾部。例如，下面的图 4 显示了单尾检验的决策过程。该曲线也是具有 21 个自由度的 t 分布。对于单尾检验，来自 α = 0.05 的 t 分布的值是 1.721。如果检验统计量高于参考值，将拒绝原假设。如果检验统计量低于参考线，将无法拒绝原假设。

如何使用 t 表格？

大多数人都会使用软件来开展 t 检验所需的各种计算。但许多统计学书籍仍然提供了 t 表格，因此，了解如何使用表格也会有一些帮助。下面的步骤描述了如何使用典型的 t 表格。

1. 确定表格是用于双尾检验还是单尾检验。然后，确定您是有单尾检验还是双尾检验。t 表格中的列确定不同的 alpha 水平。
   如果您有可用于单尾检验的表格，您仍然可以使用它来开展双尾检验。如果您为双尾检验设置了 α = 0.05，并且只有单尾表格，请使用 α = 0.025 的列。
2. 确定数据的自由度。t 表格中的行对应不同的自由度。大多数表格最多有 30 个自由度，然后到此为止。这些表格假定对于大型样本数据，人们将会使用 z 分布。
3. 在表格中找到 α 水平与自由度交叉处的单元格。这是 t 分布值。将统计量与 t 分布值进行比较，得到结论。