z 分數
使用 z 分數
z 分數是一種使用標準化尺度來衡量每個資料值與平均數之差距的方法。Z 分數將原始資料轉換為 z 分佈中的資料。z 分佈是一個平均數為 0 且標準差為 1 的常態分佈。通常將其稱為標準常態分佈。
為什麼要轉換為 z 分數？
轉換為 z 分數可以輕鬆套用經驗法則。例如，由於 z 分佈的標準差為 1，因此您知道大約 95% 的值介於 –2 和 +2 之間。
轉換為 z 分數使我們能夠依據標準化尺度判斷與平均數的距離。在電腦普遍使用之前，統計學教科書包含標準化常態分佈表格，允許學生查找與平均數的距離，比經驗法則的一、二和三個標準差更精確。
如何轉換為 z 分數
若要轉換資料值，請從該值中減去平均數，然後除以標準差。結果稱為 z 分數或「標準分數」。理論上，您使用的是母體平均數和標準差。實作中，通常使用樣本平均數和標準差。
透過範例更容易理解這一點。
舉個簡單的例子，我們將只使用幾個資料值。假設您測量心率。大多數人的心率在 60 到 100 次/分鐘 (BPM) 之間。假設資料值為：
| 55 |
| 60 |
| 65 |
| 75 |
| 80 |
| 85 |
這些值的平均數為 70，標準差為 11.8。（您可以在平均數和標準差頁面中瞭解如何執行這些計算。）
假設有人問您 55 的值是否在兩個標準差範圍內。您可以透過使用平均數和標準差來計算距離 70 兩個標準差的值來得出結論。該計算方式如下：
70 – (2 x 11.8) = 70 – 23.6 = 46.4
由於 55 在 46.4 到 70 的範圍內，因此 55 在平均數的兩個標準差範圍內。
您還可以計算 z 分數。請記住，要計算一組值的 z 分數，只需從每個值中減去平均數並除以標準差即可。以下是我們心率測量值的 z 分數：
| 資料 | z 分數 |
| 55 | (55 – 70) / 11.8 = –1.27 |
| 60 | (60 – 70) / 11.8 = –0.85 |
| 65 | (65 – 70) / 11.8 = –0.42 |
| 75 | (75 – 70) / 11.8 = 0.42 |
| 80 | (80 – 70) / 11.8 = 0.85 |
| 85 | (85 – 70) / 11.8 = 1.27 |
現在，我們可以看到 55 的值在兩個標準差範圍內。事實上，它比平均數低 1.27 個標準差。
我們使用樣本平均數和樣本標準差來計算 z 分數。這是一種典型的做法，儘管統計理論是根據母體平均數和母體標準差。