t 分佈
什麼是 t 分佈？
t 分佈說明當母體標準差不明，且觀察結果來自常態分佈母體時，樣本平均數與母體平均數之間的標準距離。
t 分佈與學生的 t 分佈是否相同？
是。
t 分佈與 z 分佈的主要差異？
標準常態或 z 分佈假設您知道母體的標準差。t 分佈則是根據樣本標準差。
t 分佈與常態分佈的比較
t 分佈與常態分佈類似。它有精準的數學定義，但與其深入探討複雜的數學，讓我們來看看 t 分佈的一些實用屬性，以及為什麼這對分析來說相當重要。
- 和常態分佈相同，t 分佈的形狀很平滑。
- 和常態分佈相同，t 分佈對稱呈現。如果您從平均數將分佈圖形對折，兩邊會是同等大小。
- 和標準常態分佈 (或 z 分佈) 相同，t 分佈的平均數為 0。
- 常態分佈假設母體標準差已知。t 分佈則不做此假設。
- t 分佈由自由度定義。自由度與樣本量相關。
- t 分佈在樣本量較小、標準差未知，或兩者條件兼具時最有用。
- 隨著樣本量增加，t 分佈會越來越近似於常態分佈。
參考下列圖表比較三組 t 分佈與標準常態分佈：
所有分佈的形狀都很平滑且對稱。平均數均為 0。
t 分佈的形狀由自由度定義。自由度較高的曲線較高，尾端也較細。這三個 t 分佈比起 z 分佈「尾端都較粗」。
您可以看到自由度較高的曲線跟 z 分佈越相似。比較自由度為 1 的粉紅色曲線與綠色曲線的 z 分佈。比起 z 分佈，自由度為 1 的 t 分佈較短，尾端較粗。接著請比較自由度為 10 的藍色曲線與綠色曲線的 z 分佈。這兩個分佈非常相似。
大原則為在樣本量至少為 30 時，可以用 z 分佈取代 t 分佈。下圖 2 顯示自由度為 30 的 t 分佈與 z 分佈。圖表使用虛線綠色曲線代表 z 分佈，以便您查看兩種曲線。此相似性是一個當樣本量足夠大時，使用 z 分佈取代 t 分佈作為統計分析的原因。
假設檢定與 t 分佈的尾端
進行 t 檢定時，您需確認統計量是否比起 t 分佈的預期結果更極端。
針對雙尾檢定，您必須同時檢查分佈的兩尾。下圖 3 顯示雙尾檢定的決策流程。該曲線代表自由度為 21 的 t 分佈。α = 0.05/2 = 0.025 的 t 分佈值為 2.080。針對雙尾檢定，您可以在統計量大於參考值的絕對值時，否定虛無假設。若檢定統計量落在左尾或右尾的範疇，可以否定虛無假設。若統計量落在參考線內，就無法否定虛無假設。
針對單尾檢定，只需看分佈的一尾。例如：下圖 4 顯示單尾檢定的決策流程。這也是自由度為 21 的 t 分佈曲線。針對單尾檢定，α = 0.05 的 t 分佈值為 1.721。若統計量大於參考值，即否定虛無假設。若統計量低於參考線，則無法否定虛無假設。
如何使用 t 表格
許多人會使用JMP完成 t 檢定所需的計算。但許多統計教材仍會顯示 t 表格，因此瞭解如何使用表格可能有所幫助。下列步驟會說明如何使用常見的 t 表格。
- 請確認表格適用於雙尾或單尾檢定。接著請決定您是要用於單尾或雙尾檢定。t 表格的欄會指明不同的 Alpha 程度。
若您的表格適用於單尾檢定，還是可以用於雙尾檢定。如果您的雙尾檢定 α = 0.05，但您只有適用於單尾檢定的表格，選擇 α = 0.025 欄的數值即可。 - 確定資料的自由度。t 表格的列對應至不同的自由度。大多數表格的自由度最高為 30。表格假設樣本量較大時，人們會改用 z 分佈。
- 找到表格中，α 程度與自由度交叉的儲存格。這是 t 分佈值。將您的統計量與 t 分佈值比較以得出適當結論。