曲線擬合
擬合曲率模型
在此範例中，一顆球原為靜止狀態，在 0 秒時於 400 公分高處落下。感應器在不同時間記錄球落下的距離 (單位為公分)。
您會如何說明這兩個變數間的關係？
我們擬合迴歸模型，以距離 (公分) 為反應、時間 (秒) 為預測因子。
直線能多清楚說明這兩個變數間的關係？
兩個變數的關係似乎有直線無法捕捉的曲率。部分點於線上方對稱；其他則位於線下方。
然而，我們經常傾向忽略圖表輸出，而先檢視統計資料輸出。
請注意，模型與線性斜率係數兩者皆高度顯著，且距離 (公分) 超過 95% 的變異數可由時間 (秒) 解釋。
但我們應該使用此模型進行預測嗎？最好的實務做法是在解讀統計資料輸出前，檢視資料圖表的呈現結果與殘差。讓我們看看殘差圖。
請注意殘差圖中的曲線規律。圖表顯示擬合線型模型後，殘留的變異。在此範例中，圖表放大我們在雙變量圖表中觀察到的細微規律。殘差圖也能讓我們進一步瞭解如何改善模型。在此案例中，我們可能需要更複雜的模型：一個能夠處理我們所觀察到之曲率的模型。
為說明此曲率，我們可能需將二階多項式模型擬合至資料。在此範例中，多項式模型更能說明時間 (秒) 與距離 (公分) 之間的關係。
預測圖表的殘差現在看起來效果更好。圖表沒有明顯規律，且殘差似乎沿著 0 散佈。
檢視 RSquare，我們會發現模型幾乎能解釋反應的所有變異。模型仍高度顯著，且參數估計值表格中多了一個項，也就是二次效應。線性項與二次效應皆高度顯著。
因此，就算我們初步的線性模型具有顯著性，加入二次效應後也能進一步改善模型。請注意，因為是以線性方式加入二次效應，此模型仍為線性模型。
距離 (公分) = -125.3911 + 492.0476*時間 (秒) + 486.55399*(時間 (秒)-0.51619)2
在此模型中，請注意二次項的寫法。時間 (秒) 寫為 (時間 (秒) -0.51619)2。這表示已將多項式中心化，透過減去平均數將時間 (秒) 值「中心化」。
中心化多項式是以高階項擬合線性模型時使用的標準技術。使用此技術會得到相同的模型預測，但在估計模型係數時的表現更好。
在此範例中，殘差分析指出了問題，擬合多項式模型更為合理。在真實世界的大多數情況中，若資料有不尋常的規律，擬合最佳的模型並不會如此直接了當。
舉例來說，您可能會需要轉換反應或預測因子。或者您可能會缺少其他能解釋關係的效應。您應運用對行業的知識以及問題的相關背景資訊，決定如何繼續分析。