変数重要度の評価
この節では、変数重要度の計算方法について詳説します。
背景
予測モデルを表す関数を、fとします。また、モデルの因子（主効果）を、x1, x2, ..., xnとします。y = f(x1, x2 ..., xn)という関係が成り立っているとします。
• yの期待値E(y) は、x1, x2, ..., xnの同時分布において、それらの変数でyを積分したものです。
• yの分散Var(y)は、x1, x2, ..., xnの同時分布において、それらの変数で(y – E(y))2を積分したものです。
主効果
xjのyに対する主効果を、Var(E(y |xj))と定義します。この定義において、まず、xjが与えられたときの条件付き期待値を求め、そして、その条件付き期待値の分散をxjの周辺分布から求めます。言い換えると、Var(E(y |xj))は、「xjが与えられたときのyの条件付き平均」の分散になっています。
次に、主効果xjに対するyの感度（sensitivity）を、Var(E(y |xj))/Var(y)という比率によって定義します。「要約レポート」の「主効果」列に示される変数重要度は、乱数シミュレーションによってこの比率を推定した値です（標本抽出に伴う誤差の調整を参照）。
全効果
「全効果」は、xjにかかわるすべての項による、y = f(x1, x2 ..., xn)の分散への寄与全体を表します。全効果の計算は、関数的分解に基づいています。関数的分解では、関数fが、定数および1変数だけからなる項、複数の変数を組み合わせた項などを示す関数に分解されます。このように分解された成分は、分散分析における主効果、交互作用や高次の効果に相当しますSaltelli（2002）; Sobol（1993）をご参照ください。
xjの全効果を計算するにあたっては、まず、分解された成分のうち、xjを含む項が識別されます。そして、それらの各項について、条件付き期待値の分散が計算されます。その後、それらの各項の分散が合計されます。この合計値は、xjを含む複数の項が、Var(y)に対して、全体としてどれぐらい寄与しているかを示します。各xjについて、これらの値は、ユーザによって選択された、入力変数のシミュレーション方法に基づいて算出されます。こうして算出された値は、「全効果」という列に表示されます（標本抽出に伴う誤差の調整も参照してください）。
x1とx2という2因子しかない簡単な場合で、全効果の重要度がどのように算出されるか考えてみましょう。x1が関係する全効果の重要度は、次式で算出されます。
標本抽出に伴う誤差の調整
「要約レポート」の「主効果」と「全効果」に出力される推定値は、標本抽出によって算出されているため、誤差が生じます。その標本抽出の誤差は、次に述べる方法で調整される場合があります。「全効果」が、「主効果」より小さくなった場合は、「全効果」が「主効果」と等しい値に設定されます。また、「主効果」の合計が1より大きくなる場合は、合計が1になるように値が正規化されます。
変数重要度の標準誤差
入力変数に対して独立性を仮定した場合には、重要度の標準誤差が計算されます。この標準誤差は、モンテカルロ法の計算精度を表すものです。重要度の計算において、この標準誤差は以下のように使われます。
• ラテン超方格法によって、データを複数組、生成します。
• データの各組ごとに、主効果と全効果の重要度を計算します。
• この重要度に対する標準誤差の推定値が、全因子について閾値の0.01を下回るまで、上記の計算が繰り返されます。
レポートに表示される標準誤差は、反復計算が終了した時点での標準誤差です。