平均連長の統計的詳細

片側平均連長（ARL）値は、Goel and Wu（1971）で説明されている（Gauss型求積法にて24点を用いた）数値積分によって計算されます。開始値が0より大きい場合、この値はLucas and Crosier（1982）のAppendix A.1にある方法にしたがって計算されます。

両方のCUSUM管理図から計算されるARL値と、正および負の片側ARLの間には次式のような関係があります。

Lucas and Crosier（1982）では、開始値S0がゼロ以外の値に設定されているCUSUM管理図について説明しています。これは、「高速初期応答」（FIR; fast initial response）と呼ばれることもあります。平均連長の計算を見ると、工程が管理された状態にあるときはFIRを使用してもほとんど効果がありませんが、その初期段階で管理外の状態になっている場合には、標準のCUSUM管理図よりも早く検出することができます。