单个观测的统计详细信息

考虑未分子组的测量值，即自然子组大小为 n = 1 的情况。用 m 表示观测数，用 p 表示测量的变量数。为每个观测计算 T2 统计量并标绘它。T2 统计量和上控制限 (UCL) 的计算取决于目标统计量的来源。在“阶段 I”图中，限值基于在控制图上标绘的同一数据。在“阶段 II”图中，限值基于从历史数据集计算得出的目标统计量。有关 T2 统计量和 Hotelling T2 控制图的控制限计算的详细信息，请参见 Montgomery (2013)。

“阶段 I”控制图的计算

在“阶段 I”控制图中，按以下方式定义第 i 个观测的 T2 统计量：

其中：

Yi 是第 i 个观测的 p 个测量值的列向量

是 p 个变量的样本均值的列向量

S-1 是样本协方差矩阵的逆矩阵

i 个观测中每个观测的 Ti2 值都是在多元控制图上标绘的点。

计算“阶段 I”控制限时，上控制限基于 beta 分布。具体而言，按以下方式定义上控制限 (UCL)：

其中：

p = 变量数

m = 观测数

= Beta 分布的第 (1–α) 分位数

“阶段 II”控制图的计算

在“阶段 II”控制图中，将历史数据集定义为 X。然后按以下方式定义第 i 个观测的 T2 统计量：

其中：

Yi 是第 i 个观测的 p 个测量值的列向量

是 p 个变量的样本均值的列向量，从历史数据集计算

SX-1 是样本协方差矩阵的逆矩阵，从历史数据集计算

i 个观测中每个观测的 Ti2 值都是在多元控制图上标绘的点。

计算“阶段 II”控制限时，新观测独立于历史数据集。在这种情况下，上控制限 (UCL) 是 F 分布的函数，部分依赖于从中计算目标的历史数据集中的观测数。按以下方式定义上控制限：

其中：

p = 变量数

m = 历史数据集中的观测数

F 分布的 = (1–α) 分位数

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