连续拟合分布

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基本分析 • 分布 • “分布”平台的统计详细信息 • 连续拟合分布

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连续拟合分布

本节包含“连续拟合”菜单中的选项的统计详细信息。

正态拟合选项估计正态分布的参数。正态分布通常用于针对对称且多数值位于曲线中间的测量值建模。对任意一组数据选择正态拟合，然后检验正态分布对您数据的拟合程度。

正态分布的参数如下所示：

•

μ（均值）定义分布在 x 轴上所处的位置

•

σ（标准差）定义分布的离散或散布程度

时，呈标准正态分布。“参数估计值”表显示使用 95% 的置信上限和置信下限时，μ 和 σ 的估计值。

E(x) = μ

Var(x) = σ2

对数正态拟合选项估计双参数对数正态分布的参数 μ（尺度）和 σ（形状）。当且仅当

服从正态分布时，变量 Y 服从对数正态分布。数据必须大于零。

E(x) =

Var(x) =

Weibull、有阈值的 Weibull 和极值

Weibull 分布根据 α（尺度）和 β（形状）的值呈不同形状。它通常为估计寿命（特别是机械设备和生物学方面）提供合适的模型。

“Weibull”分布和“有阈值的 Weibull”分布的 pdf 如下所示：

α,β > 0;

E(x) =

Var(x) =

是 Gamma 函数。

Weibull 选项将阈值参数 (θ) 设置为零。有阈值的 Weibull 选项，使用最小观测的值估计阈值参数 (θ)，使用其余观测估计 α 和 β。若了解应该如何设置阈值，请使用固定参数选项设置该阈值。请参见“拟合分布”选项。

注意：“分布”平台对于“有阈值的 Weibull”分布中的阈值参数使用与“寿命分布”平台不同的估计方法。推荐使用“寿命分布”估计方法拟合该分布。请参见《可靠性和生存方法》手册中的““寿命分布”平台的统计详细信息” 。

“极值”分布等价于重新参数化为 δ = 1 / β 且 λ = ln(α) 的双参数 Weibull (α, β) 分布。

指数分布尤其适用于描述随时间随机出现的事件，如生存数据。指数分布可能还适用于对不重叠事件各次出现之间经过的时间进行建模。不重叠事件的示例包括：用户计算机查询与服务器响应之间的时间、客户先后到达服务台相隔的时间，或是传入交换机的各次呼叫之间的时间。

“指数”分布是双参数 Weibull 在 β = 1 且 α = σ 时的特例，也是 Gamma 分布在 α = 1 时的特例。

E(x) = σ

Var(x) = σ2

Devore (1995) 提出指数分布是无记忆的。无记忆意味着若您在 t 小时后检查某个部件，而该部件仍然在运转，此时附加寿命时间的分布（该部件一直存活到 t 时刻情形下的附加寿命的条件概率）与原始分布相同。

Gamma 拟合选项估计 gamma 分布参数，α > 0 且 σ > 0。参数 α（在拟合 gamma 报表中称为 alpha）描述形状或曲率。参数 σ（称为 Sigma）是分布的尺度参数。第三个参数 θ（称为阈值）是下端点参数。除非有负值，否则默认情况下该参数设置为零。您还可以通过使用固定参数选项设置其值。请参见“拟合分布”选项。

E(x) = ασ + θ

Var(x) = ασ2

•

标准 gamma 分布的 σ = 1。Sigma 称为尺度参数，因为 1 之外的值将沿着 x 轴延展或收缩分布。

•

当 σ = 2、α = ν/2 且 θ = 0 时呈卡方

分布。

•

指数分布是在 α = 1 且 θ = 0 时出现的一系列 gamma 曲线。

时，标准 gamma 密度函数严格递减。当

时，密度函数从零开始，递增至最大值，然后递减。

标准 Beta 分布适用于对限制在 0,1 区间内的随机变量的行为建模。例如，比例总是介于 0 和 1 之间。Beta 拟合选项估计两个形状参数：α > 0 且 β > 0。另外还有 θ 和 σ，用于将阈值下限定义为 θ，将阈值上限定义为 θ + σ。beta 分布仅包含区间

内的值。θ 估计为最小值，σ 估计为极差。当 θ = 0 且 σ = 1 时呈标准 beta 分布。

使用固定参数选项可将参数设置为固定值。阈值上限必须大于或等于最大数据值，阈值下限必须小于或等于最小数据值。有关“固定参数”选项的详细信息，请参见“拟合分布”选项。

E(x) =

Var(x) =

是 Beta 函数。

“正态混合”选项拟合混合的正态分布。这种灵活分布能够拟合多模态数据。

通过选择两正态混合或三正态混合选项，可以拟合混合的两个或三个正态分布。或者，通过选择其他选项，您可以拟合混合的 k 个正态分布。将为每个分组估计单独的均值、标准差和占整体的比例。

E(x) =

Var(x) =

其中，μi、σi 和 πi 分别是第 i 个分组的均值、标准差和比例；

是标准正态 pdf。

平滑曲线选项使用非参数密度估计（核密度估计）拟合平滑曲线。平滑曲线叠加在直方图上，该图下方会出现一个滑块。通过使用滑块更改核心标准差来控制平滑度。初始核心标准差估计值基于数据的标准差计算得出。

SHASH 选项拟合 sinh-arcsinh (SHASH) 分布。SHASH 分布基于变换了的正态分布，它将正态分布作为特例包括在内。该分布可以对称也可以非对称。形状由两个形状参数 γ 和 δ 决定。有关 SHASH 分布的详细信息，请参见 Jones and Pewsey (2009)。

注意：当 γ = 0 且 δ = 1 时，SHASH 分布等价于位置为 θ 且尺度为 σ 的正态分布。

Johnson Su、Johnson Sb、Johnson Sl

Johnson 分布体系包含三种分布，这些分布全都基于变换的正态分布。这三种分布如下：

•

Johnson Su，无界。

•

Johnson Sb，双侧均有界限。这些界限由可以估计的参数定义。

•

Johnson Sl，单侧有界限。该界限由可以估计的参数定义。Johnson Sl 系列包含一系列对数正态分布。

S 代表体系，即范围的下标。尽管我们执行不同的方法，但关于特定 Johnson 体系的选择标准的信息在 Slifker and Shapiro (1980) 中提供。

Johnson 分布十分灵活，所以很受欢迎。特别是，Johnson 分布体系以其数据拟合能力闻名，因为它支持偏度和峰度的每种可能组合。

若 Z 是标准正态变量，则该体系定义如下：

其中，对于 Johnson Su：

其中，对于 Johnson Sb：

对于 Johnson Sl，其中

θ < x < θ+σ; 0 < σ

θ < x 若 σ = 1; θ > x 若 σ = -1

是标准正态 pdf。

请注意以下事项：

•

不同的机器的参数估计值可能由于操作顺序和机器的精确度而有所不同。

•

参数置信区间在默认报表中处于隐藏状态。参数置信区间对 Johnson 分布的意义不大，因为这些分布是变换了的正态分布。要显示参数置信区间，请在报表中右击，然后选择列 > 95% 下限和 95% 上限。

广义对数 (Glog)

该分布适用于拟合与正态分布相差甚远且经常具有不恒定方差的数据（如生化数据）。使用参数 μ（位置）、σ（尺度）和 λ（形状）来描述广义对数分布。

广义对数分布是变换了的正态分布，来自以下关系：

若 z =

~ N(0,1)，则 x ~ Glog(μ,σ,λ)。

当 λ = 0 时，Glog 简化为 LogNormal (μ,σ)。

注意：参数置信区间在默认报表中处于隐藏状态。参数置信区间对广义对数分布的意义不大，因为该分布是变换了的正态分布。要显示参数置信区间，请在报表中右击，然后选择列 > 95% 下限和 95% 上限。

在“比较分布”报表中，“显示分布”列表按 AICc 升序排序。

AICc 的公式如下：

‒

logL 是对数似然。

‒

n 是样本大小。

‒

ν 是参数个数。

若列包含负值，“分布”列表则不包含要求正值数据的那些分布。仅列出连续分布。具有阈值参数（如 Beta 和 Johnson Sb）的分布不包含在可能的分布列表中。