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奇异值分解
奇异值分解 (SVD) 允许您先后通过一次旋转、一次缩放以及另一次旋转的方式来表示任意线性变换。SVD 规定任何 n x p 的矩阵 X 可表示为：
用 r 表示 X 的秩。用 Ir 表示 r x r 单位矩阵。
矩阵 U、Diag(Λ)) 和 V 具有以下属性：
U 是 n x r 半正交矩阵且 U’U = Ir
V 是 p x r 半正交矩阵且 V’V = Ir
Diag(Λ) 是 r x r 对角矩阵，其正对角元素由列向量 给出，其中 。
λi 是 X 的非零奇异值。
下面说明了 SVD 与矩形矩阵的谱分解的关系：
•
λi 的平方是 X’X 的非零特征值。
•
V 的 r 列是 X’X 的特征向量。
注意：在文献中有关于矩阵 U、V 以及包含奇异值的矩阵的维度的各种约定。但是，这些约定差异在 X 秩的范围内对分解没有实际影响。
有关进一步详细信息，请参见 Press et al. (1998, Section 2.6)。