Box Cox Y 变换

Box-Cox 幂变换用于变换响应，以便能够更接近于满足通常的正态性和方差齐性回归假设。变换响应随后可以使用回归模型进行拟合。不过，您还可能出于其他原因使用 Box-Cox 幂变换来变换变量。仅当响应 Y 为严格正数时，这种变换才适用。

常用的变换是将响应升高到特定次幂。Box and Cox (1964) 对这一系列的幂变换进行了规范化和说明。构造该变换的公式以便按照参数 λ 提供连续定义，这样即可比较误差平方和。具体而言，以下方程提供了一系列的变换：

“Box-Cox Y 变换”选项对从 λ = –2 到 2（增量为 0.2）的变换进行拟合。要选择适当的 λ 值，将为这些变换中的每一个变换计算似然函数。计算的假设前提是：误差是独立的，服从均值为 0 且方差为 σ2 的正态分布。将选择使似然函数最大化的 λ 值。该值还使误差平方和在 λ 值中最小。使用二次插值找到围绕具有最小误差平方和的网格点的两个增量网格点之间使似然值最大化的 λ 值。

“Box-Cox 变换”报表显示一个图，其中显示 λ 的值与误差平方和 (SSE) 值的对应关系。该图上的水平红线表示 λ 的单侧 95% 置信区间。该置信区间基于 Box and Cox (1964, p. 216) 中定义的置信区域。置信区域用以下不等式定义：

SSE(λ) < SSE(λbest) * exp(ChiSquareQuantile(0.95,1) / dfe)

其中

SSE(λbest) 是使用报告的最佳 λ 计算的误差平方和

ChiSquareQuantile(0.95,1) 是自由度为 1 的 χ2 分布的第 0.95 分位数

dfe 是回归模型的“方差分析”表中的误差自由度

“Box-Cox 变换”报表提供以下选项：

使用变换重新拟合

支持您指定 lambda 值以定义变换的 Y 变量，之后提供变换后的变量的最小二乘拟合。

使用变换替换

支持您指定 lambda 值以定义变换的 Y 变量，之后使用变换后变量的拟合替换当前的最小二乘拟合。若有多重响应，“使用变换替换”仅替换您所变换的响应的报表。

保存最佳变换

在数据表中创建一个新列并保存最佳变换的公式。

保存特定变换

支持您指定 lambda 值，并使用您指定的变换的公式在数据表中创建列。

估计值表

创建一个新的数据表，其中包含从 –2 到 2（以 0.2 为增量）的所有 λ 的参数估计值和误差平方和值。

“Box-Cox Y 变换”的示例

1. 选择帮助 > 样本数据库，然后打开 Reactor.jmp。

2. 选择分析 > 拟合模型。

3. 选择 Y 并点击 Y。

4. 确保次数框的值为 2。

5. 选择 F、Ct、A、T 和 Cn，然后点击宏 > 析因次数。

6. 点击运行。

Box Cox Y 变换 

该图显示 λ 的最佳值介于 0.1 和 2.0 之间。JMP 使用两个最佳值之间的插值（采用 λ 值的 0.2 单位网格）选择的值为 1.124。

7. （可选）要查看用于构造图形的误差平方和值，请选择估计值表。