反復測定の例「Cholesterol Stacked.jmp」サンプルデータを例に見てみましょう。コレステロールを下げるための2剤の実薬を、プラセボ群やコントロール群（対照群）と比較する試験が行われました。コレステロール値が高い20名の患者に対し、4種類の処置（2種類の実薬群、コントロール群、プラシボ群）のいずれかが無作為に割り付けられました。各患者の総コレステロール値が、4、5、6月の第1日目において、午前・午後で測定されました（計6回の測定）。興味があるのは、新薬のいずれかにコレステロール値を下げる効果があるかどうかと、処置と時刻の間に交互作用があるかどうかです。
背景|
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分割実験データとみなして、一変量の分散分析（ANOVA）の枠組みで分析する方法。Huynh‐Feldt（1976）の修正や、Greenhouse‐Geisser（1959）の修正が適用されることもある。
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共分散構造［混合モデル］手法には、さまざまな共分散構造が用意されています。反復測定データは、Toeplitz分散構造や1次自己相関（AR(1)）の共分散構造に従っている場合がよくあります。これらの構造は、多くの反復測定データの特徴をよく捉えていると同時に、推定するパラメータ数が少なくて済みます。AR(1)構造やToeplitz構造は、各時点での分散が同じであると仮定します。一方、異分散Toeplitz構造は、時点ごとに異なる分散を仮定します。第 “反復共分散構造の要件”を参照してください。
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第 “共分散構造: 残差”： ［残差］モデルは、単なる、独立で同一な誤差です。この例では、患者の効果を変量効果として含めます。よって、今共分散パラメータは全部で2個です。
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第 “共分散構造: Toeplitz”： 異分散Toeplitz構造には、2J‐1個の共分散パラメータがあります。この例では、11個の共分散パラメータがあります。
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第 “共分散構造: AR(1)”： このモデルには、2つの共分散パラメータがあります。1つのパラメータは分散です。もう1つのパラメータは、時間の経過に伴う共分散の変化を表します。
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データ構造「Cholesterol.jmp」データテーブルは、反復測定データの記録によく使用される形式を取っています。［混合モデル］手法を使ってこのデータを分析するには、「Cholesterol Stacked.jmp」のようにコレステロールの測定値が1つずつ個別の行に入っていなければなりません。「Cholesterol.jmp」の形式から「Cholesterol Stacked.jmp」のようなデータを作成するため、［テーブル］>［列の積み重ね］を用いました。
積み重ねたデータテーブルの「日数」列では、実験の開始日から測定日までの経過日数が、計算式によって算出されています。この列は連続尺度になっています。共分散構造としてAR(1)を使う場合、時点を表す列は連続尺度でなければなりません。
共分散構造: 無構造|
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［ヘルプ］>［サンプルデータライブラリ］を選択し、「Cholesterol Stacked.jmp」を開きます。
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［分析］>［モデルのあてはめ］を選択します。
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［ダイアログを開いたままにする］にチェックを入れ、次の例に移る際に起動ウィンドウに戻れるようにしておきます。
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「Y」を選択し、［Y］をクリックします。
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「手法」リストから［混合モデル］を選択します。
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［反復構造］タブを選択します。
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「構造」リストから、［無構造］を選択します。
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「患者」を選択して［個体］をクリックします。
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［実行］をクリックします。
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「混合モデルのあてはめ」レポート - 無構造の共分散構造のような「混合モデルのあてはめ」レポートが表示されます。3つのモデルをAICcまたはBICを使って比較したいので、「適合度統計量」レポートを見てみましょう。無構造モデルのAICcは703.84です。
共分散構造: 残差|
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［反復構造］タブの「構造」リストから［残差］を選択します。
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3.
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削除しなかった場合は、「共分散構造として「残差」が選択されているので、［反復］や［個体］に指定された列を無視して分析を行います。」という警告が表示されるので、そこで［OK］をクリックして分析を続行してください。
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［変量効果］タブをクリックします。
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「患者」を選択し、［追加］をクリックします。
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［実行］をクリックします。
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「混合モデルのあてはめ」レポート - 分割実験モデルのような「混合モデルのあてはめ」レポートが表示されます。「適合度統計量」レポートでAICcを見ると、無構造モデルでは703.84だったのに対して、分割実験モデルでは832.55 となっています。
共分散構造: Toeplitz|
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［反復構造］タブを選択します。
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「構造」リストで［Toeplitz 異分散］を選択します。
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「時刻」を選択し、［反復］をクリックします。
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「患者」を選択して［個体］をクリックします。
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7.
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［実行］をクリックします。
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「Toeplitz 異分散」構造では、11個の共分散パラメータの推定値を計算しなければなりません。これらの推定値は、「反復効果の共分散パラメータ推定値」レポートに表示されます。Toeplitz相関の推定値に続き、各時点の分散推定値が表示されます。この行列がどのようにパラメータ化されるかについては、第 “反復測定”を参照してください。
共分散構造: AR(1)|
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「構造」リストから、［AR(1)］を選択します。
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「日数」を選択し、［反復］をクリックします。
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［実行］をクリックします。
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「混合モデルのあてはめ」レポート - AR(1)の共分散構造のような「混合モデルのあてはめ」レポートが表示されます。「適合度統計量」レポートを見ると、「AR(1)」モデルのAICcは652.63です。この数値を、「残差」モデルの832.55と「無構造」モデルの703.84、「Toeplitz 異分散」モデルの788.03と比較しましょう。AICc規準に基づくと、4つのモデルのうち「AR(1)」モデルが最良と言えます。
AR(1)構造には、2つの共分散パラメータがあります。これらの推定値は、「反復効果の共分散パラメータ推定値」レポートに表示されます。「AR(1)日数」に表示されている推定値は、AR(1)構造での相関を決めるρの推定値になっています。
バリオグラムには、経験的準分散とAR(1)モデルの曲線が表示されます。「日数」に、ゼロでない値が5つしかないため、距離が4つしか測定できず、点も4つしか表示されません。AR(1)構造は、適切だと考えられます。他の構造について調べるには、「バリオグラム」の赤い三角メニューからオプションを選択します。「バリオグラム」のオプションの詳細については、第 “バリオグラム”を参照してください。
AR(1)構造を使ったさらなる分析|
1.
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「混合モデル」の赤い三角ボタンをクリックし、［周辺予測値プロット］>［プロファイル］を選択します。
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2.
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「月」のプロットで、赤い縦の点線を「April」から「May」へ、次に「June」へとドラッグしてみましょう。
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「AM」におけるYの平均予測値は、「April」の277.4から「June」の177.7へと下がります。
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3.
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「処置」のプロットで、赤い縦の点線を「A」から「B」へドラッグします。
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「月」のプロットで点線を「April」から「June」へとドラッグすると、処置が「B」の場合の「AM」におけるYの平均予測値が「April」の276.8から「June」の191.2へと下がることがわかります。
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4.
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「処置」のプロットで、縦の点線を「Control」（コントロール）へ、そして「Placebo」（プラセボ）へドラッグします。
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「処置」が「Control」や「Placebo」の場合には、時間が経っても、コレステロールは減少しません（コントロール群の周辺プロファイル）。
次に、「午前/午後」の効果を調べます。
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5.
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5月においては、処置「A」の方が、処置「B」よりもコレステロールが低くなっているようです。もしこの差が統計的に有意であるなら、5月においては、処置「A」の平均は、処置「B」の平均よりも小さいことを意味しています。次の第 “6月におけるすべての処置の比較”では、6月における各処置の平均を比較しています。
図8.21 処置A群の周辺プロファイル
図8.22 コントロール群の周辺プロファイル
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1.
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「混合モデルのあてはめ」の赤い三角ボタンをクリックし、［多重比較］を選択します。
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2.
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「推定値の種類」リストから［ユーザ定義の推定値］を選択します。
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［推定値の追加］をクリックします。
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7.
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「比較の選択」リストで、［すべてのペアの比較 - TukeyのHSD検定］を選択します。
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「多重比較」ウィンドウは「多重比較」ウィンドウで設定を終えたところのようになります。
図8.23 「多重比較」ウィンドウで設定を終えたところ
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8.
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［OK］をクリックします。
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AR(1)誤差構造の回帰モデルの例|
1.
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2.
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［固定効果］タブに指定されているすべての固定効果を選択し、［削除］をクリックします。
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［実行］をクリックします。
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「混合モデルのあてはめ」レポート - AR(1)構造の連続時間モデルのような「混合モデルのあてはめ」レポートが表示されます。「処置」と「日数」の交互作用が有意になっています。これは、日数を説明変数とした回帰直線の傾きが、薬剤によって異なることを示しています。
メモ: ある日数における予測値を求めるには、プロファイルを用いてください。詳細については、『プロファイル機能』の「プロファイル」章を参照してください。
