空間的構造の統計的詳細
yi = μ + eiという切片だけの単純なモデルを考えましょう。［混合モデル］手法の空間モデル（もしくは時間モデル）では、誤差項eiの共分散行列に対して、空間的な構造を仮定します。一般に、空間モデルでは、ある時点の誤差分散Var(ei) = si2、および、異なる2地点の誤差間の共分散Cov(ei, ej) = sijを、特定の関数で表します。
siが、yiが測定された地点の座標（もしくは測定された時点）を表すとします。空間モデルでは、通常、「2つの地点の誤差間の共分散は、場所siとsjの間のユークリット距離dijの関数である」と仮定します。つまり、誤差間の共分散が、特定の関数Cov(ei, ej) = s2[f(dij)]によって仮定されます。ここで、f(dij)は、yiとyjにおける誤差間の相関です。
地点の座標が2次元以上で表されているときで、f(dij)が方向に依存していない場合、その共分散構造の性質を「等方性（isotropic）」と呼びます。一方、依存している場合は「異方性（anisotropic）」と呼びます。
空間的相関構造
JMPに用意されている空間的モデルの相関構造を以下に紹介します。これらの構造をパラメータ化するrは、他に制約がない限り正の値を取ります。
• 球型
この式で、
• 指数
• Gauss
• べき乗
なお、異方性モデルの場合には、各方向に対してrκというパラメータが設定されます。
バリオグラム
空間過程が2次定常性の場合、空間的相関構造で述べられている相関構造により、バリオグラムが定義されます。バリオグラムは空間統計学において、空間データの特徴を表すグラフとして使われています。バリオグラムは、空間におけるばらつきを、地点間の距離dijの関数である準分散（semivariance）で表します。
地点sにおける応答変数の値をZ(s)とします。siとsjにおける観測値間の準分散は、次式で求められます。
応答の平均が一定である場合は、式を次のように簡略化できます。
構造が等方性である場合は、準分散は、点の間の距離hだけに依存するため、次のようにも表されます。
バリオグラムには、次のような要素があります。
ナゲット
バリオグラムの切片で、h=0における準分散を表します。
シル
距離を増加させていき、平坦になったときのバリオグラムの値です。これは、観測値の分散に該当します。ナゲット効果のないモデルでは、シルはs2です。ナゲット効果のあるモデルでは、シルはs2 + c1で、c1がナゲットを表します。このとき、s2は部分シル（partial sill）と呼ばれています。
レンジ
バリオグラムがシルに到達する距離です。レンジよりも短い距離では、観測値間には相関があります。レンジ以上の距離では、相関がゼロになっています。球型モデルでは、rがレンジです。指数モデルでは、3rが実質的なレンジです。Gaussモデルでは、
が実質的なレンジです。ここで「実質的なレンジ」とは、バリオグラムの値が、シルの95%までに達する距離です。
Figure 8.34における共分散パラメータ推定値は、次のようなさまざまなバリオグラムの特徴を示しています。
空間的構造 球型
レンジrの推定値。
ナゲット
c1の尺度化した推定値。残差にこの「ナゲット」を掛けるとc1になります。
残差
部分シル（ナゲット効果がないモデルの場合は、シル）
バリオグラムの推定値
経験的準分散に、非線形最小2乗法で、特定の等方性空間構造（空間的相関構造）に対応した関数をあてはめても、バリオグラムの推定値を求めることができるでしょう。
経験的準分散
経験的準分散（empirical semivariance）は、すべてのペアの距離に対して計算されます。このとき、計算された距離は、10区間に等しく分割されます。分割したときに10区間に満たない場合には、できるだけ多くの区間が作成されます。
経験的準分散を計算するにあたり、点のすべてのペアは、グループに分けられます。h番目のグループは、遠いほうからh番目の区間に属するペアで構成されます。
次の記号を用います。
n
点のペアの合計数
Ch
h番目の区間に含まれるペアで構成されたグループ
Z(x)
xにおける応答変数の値。ここで、xは、空間的座標のベクトル
g(h)
区間Chにおける準分散
準分散関数のgは、次のように定義されます。
ここで、
はナゲット効果の推定値です。