Crow-AMSAAモデル

「信頼性成長」プラットフォームは、MIL-HDBK-189（1981）で述べられているCrow-AMSAAモデルをあてはめることができます。Crow-AMSAAモデルは、時間をtとしたときの強度関数がr(t) = lbtβ-1である非同次Poisson過程モデルです。ここで、lは尺度パラメータ、bは成長パラメータ、tは時間です。この強度関数は、「Weibull強度（Weibull intensity）」とも呼ばれています。Crow-AMSAAモデルは、「べき乗則モデル」と呼ばれることもあります（Rigdon and Basu, 2000; Meeker and Escobar, 1998）。「再生モデルによる分析」プラットフォームでサポートされている「べき乗非同次Poisson過程モデル」は、このCrow-AMSAAモデルと同じモデルですが、異なるパラメータ表現が使われています。モデルのあてはめを参照してください。

「強度関数」は、修理可能なシステムに対して使われる数学的な概念です。時間tにおける強度関数は、tの周りのごく短い時間間隔で故障が生じる確率を、時間間隔で割ったもので、その短い時間間隔をゼロに近づけていった時に収束する極限値として定義されます。強度関数は、特定の時点においてシステムが故障する「密度」を表していると解釈できます。b < 1の場合、時間経過とともに故障は少なくなっており、システムは徐々に向上しています。b > 1の場合、時間経過とともに故障が多くなっており、システムは徐々に悪くなっています。b = 1の場合、故障が生じる頻度は一定です。

［Crow AMSAA］オプションを選択すると、「累積イベント数」グラフが更新され、Crow-AMSAAモデルで推定された累積イベント数の曲線が描かれます。曲線を囲む色のついた帯は、その時点における累積イベント数の95%信頼区間を示します。「モデルリスト」レポートも同様に更新されます。Figure 11.8は、「TurbineEngineDesign1.jmp」データの「観測データ」レポートです。

図11.8 Crow AMSAAの「累積イベント数」グラフと「モデルリスト」レポート 

「Crow-AMSAA」レポート

「Crow-AMSAA」レポートは「モデル」レポートの中に表示されます。［イベントまでの時間の形式］を使用した場合、「Crow-AMSAA」レポートの「平均故障間隔」グラフは両対数グラフになります。「平均故障間隔」グラフを参照してください。

「平均故障間隔」グラフ

「平均故障間隔」グラフはデフォルトで表示されます（Figure 11.9）。各時点で、色のついた帯状の部分が、時間tにおける平均故障間隔の95%信頼区間を示します。「平均故障間隔」グラフの両軸には、対数スケールが使われます。Crow-AMSAAモデルの平均故障間隔は、両対数グラフに描くと、直線になります。

図11.9 「平均故障間隔」グラフ 

両対数グラフで、Crow-AMSAAモデルの平均故障間隔が直線になる理由を考えてみましょう。平均故障間隔は、強度関数の逆数です。Crow-AMSAAモデルの強度関数の逆数は、1/(lbtβ-1)です。ここで、tは試験開始時点からの時間です。この式の対数をとると、平均故障間隔の対数は、log(t)の線形関数になっているのが分かります。この時、log(t)に対する傾きは1 ‑ bです。平均故障間隔の推定値は、単純に、パラメータlとbに、推定値を代入して求めています。したがって、平均故障間隔の対数は、推定値においても、log(t)の線形関数となっています。

推定値

「lambda」（l）、「beta」（b）、「信頼性成長 傾き」（1 ‑ b）の最尤推定値が、グラフの下の「推定値」レポートに表示されます（Figure 11.9）。l、b、1 ‑ bの標準誤差と95%信頼区間も表示されます。計算の詳細については、Crow-AMSAAモデルのパラメータ推定値を参照してください。

共分散行列

あてはめたモデルのパラメータ推定値間の共分散行列を推定したもの。このレポートはデフォルトでは閉じた状態になっています。

「Crow-AMSAA」のオプション

ここでは、Crow-AMSAAモデルをあてはめた場合の「Crow-AMSAA」アウトラインの赤い三角ボタンメニューについて説明します。

平均故障間隔グラフの表示

このオプションは、「平均故障間隔」グラフの表示／非表示を切り替えます。「平均故障間隔」グラフを参照してください。

強度グラフの表示

「強度」グラフには、強度関数の推定値が表示されます。Weibull強度関数はr(t) = lbtβ-1で求められるため、log(強度)はlog(t)の線形関数となります。このグラフの両軸には、対数スケールが使われます。

図11.10 強度グラフ 

累積イベント数グラフの表示

このコマンドを実行すると、累積イベント数の推定値がプロットされたグラフが表示されます。グラフ上には累積イベント数の実測値も表示されます。このグラフの両軸には、対数スケールが使われます。

図11.11 「累積イベント数」グラフ 

Crow-AMSAAモデルの場合、時間tにおける累積イベント（の期待値）はltβです。これの対数を取った式は、log(t)の線形関数になっています。よって、Crow-AMSAAモデルの累積イベント数は、両対数グラフに描くと、直線になります。

プロファイルの表示

このコマンドを実行すると、平均故障間隔・強度・累積イベント数を描いた3つのプロファイルが表示されます（図18.11）。プロファイルでは対数スケールは使用されません。赤い縦の点線をドラッグすることで、さまざまな時点における、これら3つの特性値を知ることができます。時点の値（赤い縦の点線のX座標）は、グラフの下に、赤色の数字で表示されています。また、Ctrlキーを押しながらプロファイル内をクリックすると、ウィンドウが開き、時点の数値をキーボードから入力できます。なお、青い縦の点線は、最後に観測された故障の時点を示しています。

プロファイルには、95%信頼区間を示す帯も表示されます。指定された時点における点推定値（赤字）と95%信頼区間（黒字）は、数値としても、プロファイルの左側に表示されます。プロファイルを参照してください。

いずれかのプロファイルの赤い三角ボタンをクリックし、［因子設定］>［すべてのプロファイルを連動］を選択すると、プロファイルを連動させることができます。プロファイルの使用と解釈については、『基本的な回帰モデル』の因子プロファイルを参照してください。『プロファイル機能』のプロファイルも参照してください。

図11.12 プロファイル機能 

最終時点の平均故障間隔

分析者は、試験終了時点における平均故障間隔の信頼区間に、たびたび興味があります。このコマンドを実行すると、データが区間打ち切りでない場合、最終時点における平均故障間隔の推定値と、その95%信頼区間が計算されます。「Alpha」に数値を入力して、有意水準を変更し、信頼水準が100×(1-a)%の信頼区間を求めることができます。Figure 11.13のようなレポートが作成されます。なお、データが区間打ち切りの場合は、推定値だけが計算され、信頼区間は計算されません。

図11.13 「最終時点の平均故障間隔」レポート 

非同次Poisson過程（NHPP）から生成される故障のパターンは無数にあり、観測データはそのうちの1つに過ぎません。試験が定数打ち切りで、n回目の故障で打ち切るとします。「最終時点の平均故障間隔」レポートの信頼区間は、n個の故障時間が確率変数であることを考慮して、計算しています。しかし、試験が定時打ち切りの場合、故障時間だけでなく故障数も確率変数になります。「最終時点の平均故障間隔」の信頼区間を求める計算方法は、「平均故障間隔プロファイル」の信頼区間と異なります。Crow（1982）やLee and Lee（1978）を参照してください。

データが定数打ち切りの場合、「最終時点の平均故障間隔」の信頼区間は正確です。しかし、データが定時打ち切りの場合、正確な信頼区間を求めることができません。データが定時打ち切りの場合、計算された信頼区間は保守的になっています。つまり、実際には、1-aよりも大きな確率の信頼区間になっています。

適合度

「適合度」レポートでは、「Crow-AMSAAモデルに、データは従っている」という帰無仮説に対する検定を行います。起動ダイアログで指定した時間の列が1列である場合には、Cramér-von Mises 検定が実行されます（打ち切りのない故障時間データに対するCramér-von Mises検定を参照）。また、時間の列が2列の場合には、カイ2乗検定が実行されます（区間打ち切りの故障時間に対するカイ2乗適合度検定を参照）。

打ち切りのない故障時間データに対するCramér-von Mises検定

起動ウィンドウにおける［イベントまでの時間］または［タイムスタンプ］に指定された列が1列である場合には、Cramér-von Mises検定が実行されます。この検定は、検定統計量が大きいと帰無仮説が棄却され、モデルの適合度は不十分であると結論されます。この検定に使用するベータの不偏推定値が、レポートに表示されます。また、「Cramer von Mises」という見出しの下に、検定統計量が表示されます。

「p値」の列には、データがCrow-AMSAAモデルに従っている場合に、実際に観測された検定統計量よりも大きな検定統計量が得られる確率が示されます。このレポートでは、0.25以上のp値は計算されません。検定統計量が、p値が0.25のときの検定統計量よりも小さい場合には、「>=0.25」とレポートされます。この検定の詳細については、Crow（1975）を参照してください。

Figure 11.14は、「TurbineEngineDesign1.jmp」のデータにCrow-AMSAAモデルをあてはめた場合の適合度検定を示します。計算された検定統計量のp値は、0.01未満です。つまり、Crow-AMSAAモデルの適合度は悪いと結論できます。

図11.14 「適合度」レポート - Cramér-von Mises検定 

区間打ち切りの故障時間に対するカイ2乗適合度検定

起動ウィンドウにおける［イベントまでの時間］または［タイムスタンプ］に指定された列が2列である場合には、カイ2乗適合度検定が実行されます。この検定は、検定統計量が大きいと帰無仮説が棄却され、モデルの適合度は不十分であると結論されます。検定統計量は、各区間において、実際に観測された故障数と、モデルから推定された故障数との差に基づき、算出されます。

このようなカイ2乗適合度検定は、データテーブルに記録されている時間の区間が、試験期間全体を網羅していなければいけません。つまり、各区間の開始時間は、直前の区間の終了時間と一致していなければ、カイ2乗適合度検定が妥当なものでなくなります。そのため、試験において故障が観測されなかった区間も、データテーブルに含めておく必要があります。連続していない区間や、開始時間と終了時間が一致しない区間がある場合は、JMPによって自動的に補完されます。しかし、検定結果の近似精度は悪くなります。